La función MIN en PostgreSQL devuelve el valor minimo de un conjunto de valores no nulos. Esta función se puede utilizar con campos de tipo numérico, cadena, fecha/hora o enumeración, así como en campos inet, interval, money, oid, pg_lsn, tid y matrices de cualquiera de estos tipos. La función MIN está englobada en las denominadas funciones de agregación.
Sintaxis
La sintaxis de la función MIN es la siguiente:
select MIN(expresión) from tabla
La función MIN no es exclusiva de la cláusula SELECT. También es posible utilizarla en las cláusulas WHERE y HAVING.
Ejemplos
Usaremos la siguiente tabla llamada empleados para realizar los ejemplos (al final de la página esta disponible el script para crearla)

Ejemplo básico
En el siguiente ejemplo obtenemos el mínimo sueldo de la tabla empleados:
select MIN(sueldo) from empleados;

Ejemplo agrupando
En este otro ejemplo obtenemos el valor mínimo por cada puesto. Observa como necesitamos establecer una agrupación usando GROUP BY:
select puesto, MIN(sueldo) from empleados group by puesto;

Recuerda que si en la cláusula SELECT escribes mas campos que no usen la función de agregación, debes incluirlos en el GROUP BY.
Ejemplo con subconsulta
En este ejemplo utilizamos una subconsulta que nos devuelve el sueldo minimo de la tabla empleados para despues mostrar todos los datos de los empleados que tengas dicho sueldo:
select * from empleados where sueldo = (select MIN(sueldo) sueldo from empleados);

Recuerda que en un consulta siempre se evalúa primero la cláusula FROM seguido del WHERE y por ultimo la cláusula SELECT. Más información aquí.
Ejemplo con HAVING
En este otro ejemplo mostramos el sueldo máximo agrupado por nombre, pero utilizamos la cláusula HAVING para indicar que el máximo sueldo debe ser menos de 80000:
select nombre, MIN(sueldo) from empleados group by nombre having MIN(sueldo) < 80000;

La cláusula HAVING actúa como un WHERE, con la diferencia que debe utilizar funciones de agregación.
Ejemplo con fechas
Si se utiliza con fechas nos devolverá la minima fecha como en el siguiente ejemplo:
select MIN(fecha_alta) from empleados;

Ejemplo con cadena
Si se utiliza con cadenas nos devolverá la primera cadena ordenada alfabéticamente como en el siguiente ejemplo:
select MIN(nombre) from empleados;

Ejemplo completo
Copia y pega el siguiente código en tu consola de PostgreSQL y realiza paso a paso leyendo los comentarios:
-- Borramos la tabla si existe drop table if exists empleados; -- Creamos la tabla create table empleados ( id_empleado numeric(2,0), id_departamento numeric(2,0), nombre character varying(50), puesto character varying(50), fecha_alta date, sueldo integer ); -- Insertamos valores insert into empleados values (1,1,'Miguel Troyano','Analista','26/09/1986',60000), (2,1,'Ismael Troyano','Analista','01/01/2001',60000), (3,1,'Jose Troyano','Alta Dirección','01/01/2001',80000), (4,1,'Pilar Redondo','Alta Dirección','02/02/2002',80000); -- Mostramos el sueldo mínimo de la tabla empleados select MIN(sueldo) from empleados; -- Mostramos el sueldo mínimo de la tabla empleados -- por puesto select puesto, MIN(sueldo) from empleados group by puesto; -- Mostramos todos los datos de la tabla empleados -- donde el sueldo sea igual al mínimo sueldo select * from empleados where sueldo = (select MIN(sueldo) sueldo from empleados); -- Mostramos el nombre y el mínimo sueldo -- de la tabla empleados cuando el sueldo --minimo sea menor de 80000 select nombre, MIN(sueldo) from empleados group by nombre having MIN(sueldo) < 80000; -- Mostramos la fecha más baja select MIN(fecha_alta) from empleados; -- Mostramos el primer nombre -- ordenado alfabeticamente select MIN(nombre) from empleados;